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By Jacques Martin

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Soit F, G et H trois espaces vectoriels normés de dimension finie et B : F x G --4 H une application bilinéaire. Si f E Ck(I, F) et 9 E Ck(I, G), alors l'application de 1 dans H définie par: t ...... B(J(t),g(t)) Ck , est de classe et : d dt B(J(t),g(t)) = B(J'(t),g(t)) + B(J(t),g'(t)) . - En particulier, si E est un espace vectoriel préhilbertien sur K de dimension finie, muni du produit scalaire (x, y) ...... (x 1 y) et si f et 9 appartiennent à Ck(I, E) , l'application de 1 dans K définie par: t ......

D) U ne factorisation dans rappelle la formule: x+y arctan x + arc tan y = arctan - - - + k7r . 1-xy Un e) u n = ln(n+1)+ln(n-1)-2Inn. f) Appliquez la formule sin 2x = 2 sin x cos x le nombre de fois nécessaire. J 39 . Dans chaque cas, utilisez un développement limité. ~ a) et b) Faites un développement limité du terme général. c) Utilisez l'équivalence sin x '"" x. o ;]] 1. Encadrez lk+l f(x) dx . 2. Intégrez - f'(x) ~ é f(x) sur [k, k + IJ et manipulez astucieusement les inégalités obtenues. ;:: sex S,,-1 n- l Traitez d'abord le cas ,~ Considérez les cas SI' 0 < Si Œl Ct Ct Vn • Ct Ct> 1 , puis Ct .

0 ( ~ ) 'lrn 2 224 - - 2 + -) + 'lrn 1 on 0 b· tient: 'lrn = (1 - - ) (1 + - 1 n2 +0(n 3 ) 'lrn 'lr 2 n 2 n3 1 0(-) = 13 n 2 1 'lrn 2 n3 ~ + O( -). 42 Séries à termes constants Par conséquent La série d'où: L e- t converge (cf. a), donc la série n L Un converge. œ Cet énoncé est atypique puiqu'il est rare que l'on sache expliciter les sommes partielles d'une série. Mais quand c'est le cas, il ne faut pas s'en priver! a) De la décomposition Un n n+ 1 (1 1) 1 = ~ ;: - n + 1 = 1 - N + 1 ' N SN = ~ - _1_, on déduit: d'où: +00 LUn= n=l b) On peut écrire Un = Re [(e N En posant T N = L (e iO cos iO lim SN=l.

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