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By Prof. Dr. Attila Pethö (auth.), Prof. Dr. Michael Pohst (eds.)

Dr. Attial Pethö ist Dozent für Mathematik an der Kossuth Lajos Universität in Debrecen, Ungarn.

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I n- l n In = h ... In-lIn· Das Lemma ist vollstandig bewiesen. ) ist off'ensichtlich eine kommutative Halbgruppe mit dem Einselement (1) = R. So k6nnen wir die Teilbarkeitsrelation auch fUr Ideale definieren. Es seien 11 ,12 E I(R). Das Ideal II teilt I 2, IdI2' wenn ein 13 E I(R) existiert, so daB 12 = h . 13 ist. Interessanterweise sind jetzt Teilbarkeit und Mengenordung eng verwandt. 2 Fur 11 ,12 E I(R) mit h 112 gilt II Beweis: Wenn ist, das heiBt h ~ ;;;:> h h II2 gilt, dann gibt es ein 13 , so daB h.

Wenn man in IFq eine Potenzbasis findet, das heiBt ein a, so daB 1, a, ... , a n- 1 eine Basis des Vektorraumes IFq fiber IFp ist, dann wird die notige Datenmenge wesentlich kleiner. In der Tat, im FaIle einer Potenzbasis muB man nur die Darstellung von an, ... ,a2n - 2 notieren, also insgesamt nur n 2 - n Daten. Wir zeigen nun, daB IFq immer eine Potenzbasis besitzt. 9 Die Menge 1, a, ... ,an - 1 ist eine Potenzbasis von IFq dann und nur dann, wenn a eine Wurzel des Polynoms P(x) = (x q - 1 ist mit R(x) = ggT(x q - 1 - 1, -1)/R(x) II (x Pd - 1 -1)).

4 in O(logn), also in linearer Zeit bestimmen. 4 liefert also eine sehr einfache und effiziente Methode, die Zusammengesetztheit einer ganzen Zahl zu entdecken. Betrachten wir zuIh Beispiel die beruhmte fUnfte Fermatsche Zahl F5 = 225 + 1 = 4294967297. Man kann mit 32 Quadrierungen 3Fs - 1 mod F5 bestimmen. Das Ergebnis ist 3029026160; F5 ist also keine Primzahl. Diese Zahl kann man noch leicht zerlegen. Es gilt 4294967297 = 641·6700417. Betrachtet man die 1234-stellige 12-te Fermatsche Zahl F12 = 2212 + 1, dann kann man mit einem Computeralgebra-System in wenigen Minuten feststellen, da13 3F12 - 1 't 1 (mod F12 ) ist.

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